Question

【題目】對于序列A0：a0 ， a1 ， a2 ， …，an（n∈N*），實施變換T得序列A1：a1+a2 ， a2+a3 ， …，an﹣1+an ， 記作A1=T（A0）：對A1繼續實施變換T得序列A2=T（A1）=T（T（A0）），記作A2=T2（A0）；…；An﹣1=Tn﹣1（A0）．最后得到的序列An﹣1只有一個數，記作S（A0）． （Ⅰ）若序列A0為1，2，3，求S（A0）；
（Ⅱ）若序列A0為1，2，…，n，求S（A0）；
（Ⅲ）若序列A和B完全一樣，則稱序列A與B相等，記作A=B，若序列B為序列A0：1，2，…，n的一個排列，請問：B=A0是S（B）=S（A0）的什么條件？請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）序列A0為1，2，3，A1：1+2，2+3，A2：1+2+2+3，即8，∴S（A0）=8． （Ⅱ）n=1時，S（A0）=1+2=3．
n=2時，S（A0）=1+2+2+3=1+2×2+3=8，
n=3時，S（A0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，
…，
取n﹣1時，S（A0）= 1+ 2+ 3+…+ （n﹣1）+ n，
取n時，S（A0）= 1+ 2+ 3+…+ n+ （n+1），
利用倒序相加可得：S（A0）= ×2n=（n+2）2n﹣1 ．
由序列A0為1，2，…，n，可得S（A0）=（n+2）2n﹣1 ．
（Ⅲ）序列B為序列A0：1，2，…，n的一個排列，B=A0S（B）=S（A0）．而反之不成立．
例如取序列B為：n，n﹣1，…，2，1．滿足S（B）=S（A0）．
因此B=A0是S（B）=S（A0）的充分不必要條件
【解析】（Ⅰ）序列A0為1，2，3，A1：1+2，2+3，A2：1+2+2+3，即可得出S（A0）．（Ⅱ）n=1時，S（A0）=1+2=3；n=2時，S（A0）=1+2+2+3=1+2×2+3；n=3時，S（A0）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…；取n時，S（A0）= 1+ 2+ 3+…+ n+ （n+1）；利用倒序相加法和二項式定理的性質，即可求得結果．（Ⅲ）序列B為序列A0：1，2，…，n的一個排列，B=A0S（B）=S（A0）．而反之不成立．例如取序列B為：n，n﹣1，…，2，1．滿足S（B）=S（A0）．即可得出．