Question

【題目】過橢圓的右焦點F作直線交橢圓于M、N兩點，H為線段MN的中點，且OH的斜率為，設點

求該橢圓的方程；

若點P是橢圓上的動點，求線段PA的中點G的軌跡方程；

過原點的直線交橢圓于B、C兩點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），（3）最大值．

【解析】

結合點差法和直線的斜率，以及OH的斜率為，可得，再根據右焦點F在直線上，求出c，即可求出橢圓的方程；

利用轉移法解得G的軌跡方程；

聯立直線的方程與橢圓方程，利用弦長公式求出CB，再根據點到直線距離公式得A到CB的距離，根據三角形的面積得函數解析式，根據基本不等式求出最大值．

解：設，則，兩式相減可得，

，

即，

直線交橢圓于M、N兩點，H為線段MN的中點，且OH的斜率為，

，，

，

右焦點F作在直線上，

令，可得，

，

，，

由，解得，，

橢圓方程為；

設，，則有，即，代入為中，

得，

故線段PA的中點G的軌跡方程為，

當直線BC垂直x軸時，此時，點A到直線BC的距離，則，

當直線BC的斜率為零時，此時，點A到直線BC的距離，則，

當直線BC的斜率存在且不為零時，設直線BC的方程為，

聯立方程組可得，消y整理可得，

解得，，

則，

點A到直線BC的距離，

，

，

當且僅當時，即，取最大值，最大值為，

綜上所述面積的最大值．