Question

現有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項目的利潤與產品價格的調整有關,在每次調整中價格下降的概率都是p(0＜p＜1),設乙項目產品價格在一年內進行2次獨立的調整,記乙項目產品價格在一年內的下降次數為ξ,對乙項目每投資十萬元,ξ取0、1、2時,一年后相應利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機變量ξ₁、ξ₂分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤.

(1)求ξ₁、ξ₂的概率分布和數學期望Eξ₁、Eξ₂;

(2)當Eξ₁＜Eξ₂時,求p的取值范圍.

Answer 1

(1)解法一:ξ₁的概率分布為

ξ1	1.2	1.18	1.17
P

Eξ₁=1.2×+1.18×+1.17×=1.18.

由題設得ξ～B(2,p),則ξ的概率分布為

ξ	0	1	2
P	(1-p)2	2p(1-p)	p2

故ξ₂的概率分布為

ξ2	1.3	1.25	0.2
P	(1-p)2	2p(1-p)	p2

所以ξ₂的數學期望為

Eξ₂=1.3×(1-p)²+1.25×2p(1-p)+0.2×p²=-p²-0.1p+1.3.

解法二:ξ₁的概率分布為

ξ1	1.2	1.18	1.17
P

Eξ₁=1.2×+1.18×+1.17×=1.18.

設A_i表示事件”第i次調整,價格下降”(i=1,2),則

P(ξ=0)=P()P()=(1-p)²;

P(ξ=1)=P()P(A₂)+P(A₁)P()=2p(1-p);

P(ξ=2)=P(A₁)P(A₂)=p².

故ξ₂的概率分布為

ξ2	1.3	1.25	0.2
P	(1-p)2	2p(1-p)	p2

所以ξ₂的數學期望為

Eξ₂=1.3×(1-p)²+1.25×2p(1-p)+0.2×p²=-p²-0.1p+1.3.

(2)解:由Eξ₁＜Eξ₂,得

-p²-0.1p+1.3＞1.18(p+0.4)(p-0.3)＜0-0.4＜p＜0.3,

因為0＜p＜1,所以Eξ₁＜Eξ₂時,p的取值范圍是0＜p＜0.3.