Question

已知函數(shù)f（x）=log₂x
（Ⅰ）若f（x）的反函數(shù)是函數(shù)y=g（x），解方程g（2x）=2g（x）+10；
（Ⅱ）對于任意a、b、c∈[M，+∞），M＞1且a≥b≥c．當(dāng)a，b，c能作為一個(gè)三角形的三邊長時(shí)，f（a）、f（b）、f（c）也總能作為某個(gè)三角形的三邊長，試分別探究下面兩個(gè)問題：
（1）當(dāng)1＜M＜2時(shí)，是否存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，當(dāng)a、b、c能作為一個(gè)三角形的三邊長時(shí)，以f（a）、f（b）、f（c）不能作為三角形的三邊長．
（2）M≥2，證明：對于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，當(dāng)a、b、c能作為一個(gè)三角形的三邊長時(shí)，f（a）、f（b）、f（c）總能作為三角形的三邊長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的反函數(shù)y=g（x），直接求解方程g（2x）=2g（x）+10，即可；
（Ⅱ）設(shè)存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，當(dāng)a、b、c能作為一個(gè)三角形的三邊長時(shí)，以f（a）、f（b）、f（c）能作為三角形的三邊長．求出M的最小值，即可說明（1）成立，同時(shí)說明（2）M≥2，對于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，當(dāng)a、b、c能作為一個(gè)三角形的三邊長時(shí)，f（a）、f（b）、f（c）總能作為三角形的三邊長．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的反函數(shù)y=g（x）=2^x，由g（2x）=2g（x）+10
可得：2^2x=2×2^x+10，解得2^x=1±

11

，
∴x=log₂（1+

11

）
（Ⅱ）由題意知，c+b＞a
∵f（a），f（b），f（c）能作為某個(gè)三角形的三邊長，
∴l(xiāng)og₂c+log₂b＞log₂a，
∴bc＞a（2分）
∵bc≥b+c，
∴（b-1）（c-1）≥1
當(dāng)b≥2，c≥2時(shí)，有（b-1）（c-1）≥1成立，則一定有bc＞a成立．
∵log₂c＞0，
∴c＞1，即0＜M≤1不合題意．
又當(dāng)1＜M＜2時(shí)，取b=M，c=M，a=M²，有M+M＞M²，即b+c＞a，
此時(shí)a，b，c可作為一個(gè)三角形的三邊長，但log₂M+log₂M=2log₂M=log₂M²，
即f（b）+f（c）=f（a），所以f（a）、f（b）、f（c）不能作為三角形的三邊長．
綜上所述，M的最小值為2．
所以（1）當(dāng)1＜M＜2時(shí)，不存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，當(dāng)a、b、c能作為一個(gè)三角形的三邊長時(shí)，以f（a）、f（b）、f（c）不能作為三角形的三邊長．
（2）M≥2，時(shí)對于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，當(dāng)a、b、c能作為一個(gè)三角形的三邊長時(shí)，f（a）、f（b）、f（c）總能作為三角形的三邊長．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．