Question

【題目】已知橢圓C：（a>b>0）的上、下、左、右四個頂點分別為A，B，C，D，x軸正半軸上的點P滿足|PA|=|PD|=2，|PC|=4。

（I）求橢圓C的標準方程以及點P的坐標；

（II）過點P作直線l交橢圓C于點M，N，是否存在這樣的直線l使得△MNA和△MND的面積相等？若存在，請求出直線l的方程，若不存在，請說明理由；

（III）在（II）的條件下，求當直線l的傾斜角為鈍角時△MND的面積。

Answer 1

【答案】（1），P點坐標為（1，0）.（2）y=（x-1）或y=（x-1）.（3）

【解析】

試題（1）設點P的坐標,表示條件，解方程組可得a=3，x0=1，b=.（2）先將條件轉化為點A，D到直線l的距離相等. 再根據點到直線距離公式解直線斜率，即得直線l的方程，(3)將直線方程代人橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式求底邊邊長，再根據點到直線距離公式求高，最后代人面積公式求面積.

試題解析：解：（I）設點P的坐標為（x0，0）（x0>0），易知2a=2+4，a=3，

x0=4-a=1，b=.

因此橢圓標準方程為，P點坐標為（1，0）.

（II）設直線l：y=k（x-1）.

由△MNA與△MND的面積相等，則點A，D到直線l的距離相等.

所以，解得k=或k=.

所以直線l的方程為y=（x-1）或y=（x-1）.

（Ⅲ）若直線l傾斜角為鈍角，即k=，此時方程為y=（x-1）.

與橢圓方程聯立消x得。

設M，N坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），

則有y1+y2=，y1y2=.

所以△MND的面積

S=|PD|·|y1-y2|=×2×=。

故所求△MND的面積為.