Question

【題目】已知正方體的棱長為2，平面.平面截此正方體所得的截面有以下四個結論：

①截面形狀可能是正三角形②截面的形狀可能是正方形

③截面形狀可能是正五邊形④截面面積最大值為

則正確結論的編號是（ ）

A.①④B.①③C.②③D.②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由平面，則可以將平面進行平移使之與正方體的表面相交，則交線圍成的圖形就是截面圖形，從而分析出答案.

由平面，當平面為平面，滿足截面為正三角形, 故①正確.

則將平面進行平移使之與正方體的表面相交，則交線圍成的圖形就是截面圖形.

如圖，當平面向右平移，靠近點時，截面為三角形，面積逐漸變小.

當平面向左平移到與平面重合的過程中，截面為六邊形，繼續向右平移，截面為三角形.

所以截面形狀不可能為正方形，也不可能為正五邊形，所以②，③不正確 .

當截面為三角形時的面積

當截面為六邊形時，由,即垂直于截面六邊形，

設此時截面與面 相交于，如圖.

平面平面,則

設，所以.

則，則

所以.

同理可得，六邊形其他相鄰兩邊的和也為.

所以六邊形的周長為定值,所以當六邊形的邊長相等，即為正六邊形時，其面積最大.

此時,正六邊形的邊長為 .

面積的最大值為： ,所以④正確.

所以正確的是①④

故選：A