Question

【題目】已知函數是定義域為上的奇函數，且.

（1）用定義證明：函數在上是增函數；

（2）若實數t滿足求實數t的范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（0，）

【解析】

（1）由函數是定義域為（﹣1，1）上的奇函數，求出b＝0，從而，利用定義法能證明函數f（x）在（﹣1，1）上是增函數；

（2）推導出f（2t﹣1）＜f（1﹣t），由函數f（x）在（﹣1，1）上是增函數，列出不等式組，由此能求出實數t的范圍．

解：（1）∵函數是定義域為（﹣1，1）上的奇函數，

∴f（0）0，∴b＝0，

∴

任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，

∴f（x1）﹣f（x2）

，

∵a＞0，﹣1＜x1＜x2＜1，

∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，10，10，

∴函數f（x）在（﹣1，1）上是增函數．

（2）∵f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，∴f（2t﹣1）＜﹣f（t﹣1），

∵函數是定義域為（﹣1，1）上的奇函數，且a＞0．

∴f（2t﹣1）＜f（1﹣t），

∵函數f（x）在（﹣1，1）上是增函數，

∴，

解得0＜t．

故實數t的范圍是（0，）．