Question

在△ABC中，a，b，c分別是三個內角A，B，C所對邊的長，已知tanB=

3

，cosC=

1

3

，b=3

6

．求邊AB的長與△ABC的面積．

Answer 1

分析：由B和C為三角形的內角及tanB和cosC的值，利用同角三角函數間的基本關系分別求出sinB和sinC的值，再由b的長，利用正弦定理求出c的長，即為AB的長，由三角形的內角和定理得到A+B+C=π，進而利用誘導公式得到sinA=sin（B+C），然后利用兩角和與差的正弦函數公式化簡后，將各種的值代入求出sinA的值，再由b和c的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：在△ABC中，因為tanB=

3

，cosC=

1

3

，
所以sinB=

1-cos2B

=

1- 1 tan2B+1

=

3

2

，sinC=

1-cos2C

=

2 2

3

，
又b=3

6

，
由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

得：

c

2 2 3

=

3 6

3 2

，
解得c=8，即AB=8，
∵A+B+C=π，
∴sinA=sin（C+B）=sinCcosB+cosCsinB，
又sinB=

3

2

，cosB=

1-sin2B

=

1

2

，sinC=

2 2

3

，cosC=

1

3

，
則sinA=

2 2 + 3

6

，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=6

2

+8

3

，
綜上，AB=8，S△ABC=6

2

+8

3

．

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，正弦定理，誘導公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．