Question

(本小題滿分12分）四棱錐A-BCDE的正視圖和俯視圖如下，其中正視圖是等邊三角形，俯視圖是直角梯形.

(I)若F為AC的中點，當點M在棱AD上移動時，是否總有BF丄CM，請說明理由.

(II)求三棱錐C_ADE的高.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）總有 理由如下:

取的中點，連接，

由俯視圖可知，，，

所以                ……………………2分

又,所以面， 

故.               

因為是的中點，所以.…………………4分

又故面，

面，所以. ……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，,

又在正ABC中，,

所以   ,  ……………………8分

在中，,

在直角梯形中，,

在中，,

在中，可求, ………10分

設三棱錐的高為，

則 ,

又 ,

可得，解得.

所以，三棱錐的高為.         ……………………12分

【解析】(1)根據俯視圖可確定平面ABC與底面BECD垂直，并且點A在底面上的射影在BC的中點位置。還可以得到,所以,又BF丄AC，所以可證出,進而證明出BF丄CM恒成立。 (2)利用體積法，易求三棱錐A_CDE的體積，然后再求出三角形ADE的面積，根據體積相等即可求三棱錐C_ADE的高。