Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知直線的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立極坐標系，曲線的參數方程為（為參數）.

（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）設為曲線上任意一點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據直線的極坐標方程，即可求得直線l的直角坐標公式，由橢圓C的參數方程即可求得曲線C的直角坐標方程；
（2）由（1）可得丨x-y-4丨=丨2cosφ-sinφ-4丨，根據輔助角公式及正弦函數的性質，即可求得|x-y-4|的最小值．

試題解析：

（1）由ρcosθ-ρsinθ=4，將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即得直線l的直角坐標方程為 ；曲線的參數方程為（為參數）所以.

（2）設，則丨x-y-4丨=丨2cosφ-sinφ-4丨=|cos（φ+α）-4丨=4-cos（φ+α）（tanα=）當cos（φ+α）=1時，|x-y-4|取最小值，最小值為4-.