Question

如圖，梯形ABCD中，CD//AB，，E是AB的中點，將△ADE沿DE折起，使點A折到點P的位置，且二面角的大小為120⁰．

（I）求證：；

（II）求直線PD與平面BCDE所成角的大小；

（III）求點D到平面PBC的距離.

Answer 1

I）證明見解析  （II）直線PD與平面BCDE所成角是．

（III）．

解析:

（I）連結AC交DE于F，連結PF．

，．

又，，

，

即CA平分．                                   

是正三角形，

，即PF⊥DE，CF⊥DE，

∴DE⊥面PCF，∴DE⊥PC．                               

（II）過P作于O，連結OD，設AD = DC = CB = a，則AB = 2a，

∵DE⊥面PCF，∴DE⊥PO，

∴PO⊥面BCDE，

∴∠PDO就是直線PD與平面BCDE所成的角．                  

∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角，

∴∠PFO = 60°，在RT△POD中，，

直線PD與平面BCDE所成角是．

（III）∵DE∥BC，DE在平面PBC外，，點到面的距離即為點F到面PBC的距離，過點F作FG⊥PC，垂足為G．

∴DE⊥面PCF，

．，

，

∴FG的長即為點F到面PBC的距離．                        

在菱形ADCE中，，．

，，

．