Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）若，求證：；

（Ⅲ）當時，若關于的不等式的解集為，且，，求的取值范圍（用表示）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）當時，的取值范圍是，當時，的取值范圍是.

【解析】

（Ⅰ）求導求斜率，求函數值，利用點斜式求出切線方程；

（Ⅱ）當時，，設，求導得函數的單調性與最值，得，即，分析整理即可得出證明；

（Ⅲ）由題意，在上有兩個不相等的實數根，，令得或；分類討論得函數的單調性，進而得出結論．

（Ⅰ）解：，

當時，，，

所以曲線在點處的切線方程為，即；

（Ⅱ）證明：當時，，設，所以，

，隨變化情況如下：

		0
		0
	遞減	0	遞增

由此可知對于，，即，

因此，整理得，即；

（Ⅲ）由題意可知，即方程在上有兩個不相等的實數根，，

令.得或；

當即時，在上.所以是上的增函數，

所以方程在上不可能有兩個不相等的實數根；

當即時，在上，在上，

所以在上是增函數，在上是減函數，

所以，

又因為，當時，，

（ⅰ）當即時，所以要使方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是；

（ⅱ）當即時，所以要使方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是；

綜上所述，當時，的取值范圍是；當時，的取值范圍是．