Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數．

（1）討論的單調性；

（2）當時，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）令只需在使即可，通過討論的范圍，求出函數的單調區間，求出函數的最值，從而確定的范圍即可．

解：（1）由題意可知， ，

當時，，此時在上單調遞增；

當時，令，解得，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

當時，令，解得，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

綜上，當時，在上單調遞增；

當時，時，單調遞減，

時單調遞增；

當時，時，單調遞減，

時單調遞增．

（2）由，

可得，，

令，

只需在使即可，

，

①當時，，當時，，當時，，

所以在上是減函數，在上是增函數，

只需，

解得，所以；

②當時，在上是增函數，

在上是減函數，在上是增函數，

則，解得，

③當時，，在上是增函數，

而成立，

④當時，在上是增函數，

在上是減函數，在上是增函數，

則，解得．

綜上，的取值范圍為.