Question

現(xiàn)在小型轎車慢慢進(jìn)入百姓家庭，但是另一個問題相繼暴露出來--堵車．李先生居住在城市的A處，準(zhǔn)備開車到B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件是相互獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖所示（例如A→C→D并作兩個路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率是

1

10

，路段CD發(fā)生堵車事件概率是

1

15

）．
（1）請你為李先生選擇一條由A到B的路線，使得沿途經(jīng)過的路口盡可能少，且發(fā)生堵車的概率最小；
（2）若該路線A→C→F→B中遇到堵車的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）分別求出路線A→C→D→B遇到堵車的概率，路線A→C→F→B遇到堵車的概率，路線A→E→F→B遇到堵車的概率，即得到發(fā)生堵車的概率最小的路線；
（2）由題意知路線A→C→F→B中遇到堵車次數(shù)X可取值為0，1，2，3．結(jié)合變量對應(yīng)的事件，寫出變量的分布列和期望．

解答：解：（1）設(shè)在路段AC堵車的事件為 G，在路段CD堵車的事件為H，在路段DB堵車的事件為J，
則路線A→C→D→B遇到堵車的概率是：P=1-P(

.

G

•

.

H

•

.

J

)=1-P(

.

G

)P(

.

H

)P(

.

J

)=
1-[1-P（G）][1-P（H）][1-P（J）]=1-

9

10

×

14

15

×

5

6

=

3

10

同理：路線A→C→F→B遇到堵車的概率是

3

10

，
路線A→E→F→B遇到堵車的概率是

89

320

，
所以應(yīng)選擇線路A→E→F→B可使途中發(fā)生堵車的概率最小．
（2）路線A→C→F→B中遇到堵車的次數(shù) X取值可能是 0，1，2，3，
所以P（X=0）=(1-

1

10

)(1-

1

9

)(1-

1

8

)=

504

720

=

7

10

，
P（X=1）=(

1

10

)(1-

1

9

)(1-

1

8

)+(1-

1

10

)(

1

9

)(1-

1

8

)+(1-

1

10

)(1-

1

9

)(

1

8

)=

191

720

，
P（X=2）=(

1

10

)(

1

9

)(1-

1

8

)+(1-

1

10

)(

1

9

)(

1

8

)+(

1

10

)(1-

1

9

)(

1

8

)=

24

720

，
P（X=3）=

1

10

•

1

9

•

1

8

=

1

720

故 X的分布列為 
 
   所以EX=0×

7

10

+1×

191

720

+2×

24

720

+3×

1

720

=

242

720

=

121

360

．

點評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望問題，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難．