Question

已知向量

m

=(1，1)，向量

n

與向量

m

的夾角為

3π

4

，且

n

•

m

=-1
（1）求向量

n

的坐標；
（2）若向量

n

與向量

i

的夾角為

π

2

，向量

p

=(x2，a2)，

q

=(a2，x)，求關于x的不等式(

p

+

n

)•

q

＜1的解集．

Answer 1

分析：（1）設

n

=（x，y），根據向量的數量積運算公式，列出關于x，y的方程組，并解出x，y即得向量

n

的坐標；
（2））若向量

n

與向量

i

的夾角為

π

2

，，則

n

=（0，-1），根據向量的數量積運算公式，將不等式化為a²x²+（a²-1）x-1＜0，對分類討論解即可

解答：解：設

n

=（x，y）則

m |= n • m n |cos 3π 4 =1 x+y=-1

解得

x=0 y=-1

或

x=-1 y=0

∴

n

=(0，-1)或(-1，0)
（2）若向量

n

與向量

i

的夾角為

π

2

，，則

n

=（0，-1）
(

p

+

n

)•

q

＜1即為（x²，a²-1）•（a²，x）＜1
a²x²+（a²-1）x-1＜0
（ax+1）（ax-1）＜0
當a=0時，-1＜0，不等式恒成立，即解集為R．
當a≠0時．（ax+1）（ax-1）=0的兩根為-

1

a

，

1

a

     當a＞0時，解集為{x|-

1

a

＜x＜

1

a

}
     當a＜0時，解集為 {x|x＞-

1

a

，或x＜

1

a

}

點評：本題考查向量的數量積運算公式及其應用，含參數的二次不等式的解．考查轉化，分類討論的思想方法．對于含參數的二次不等式的解，務必注意二次項系數的正負情況．一方面影響拋物線的開口方向，另一方面影響函數的兩個零點的大小．