Question

【題目】如圖所示，在直角坐標系中，點到拋物線的準線的距離為，點是上的定點，、是上的兩個動點，且線段的中點在線段上.

（1）拋物線的方程及的值；

（2）當點、分別在第一、四象限時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）求得拋物線的準線方程，由拋物線的定義可求出的值，可得拋物線的方程，代入的坐標，可得的值；

（2）求得的坐標，設出直線的方程，代入拋物線的方程，消去，可得的二次方程，運用韋達定理和中點坐標公式，求得的范圍，運用直線的斜率公式，化簡整理配方，由二次函數的值域可得所求范圍．

（1）拋物線的準線方程是，

所以，解得，所以拋物線的方程為.

又點在拋物線上，所以；

（2）由（1）知，，直線的方程為，故，即點.

由題意，直線的斜率存在且不為，設直線的方程為，

由，消去，得，

設、，則，，

因為，所以，，

由，得，

所以，

因為，所以，，，

因此，的取值范圍是.