Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）試求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：不等式對(duì)于x∈（1，2）恒成立．

Answer 1

【答案】解：（1）．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，在上單調(diào)遞減； x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）．
（2）證明：要證，即證lnx＞
設(shè)g（x）=lnx﹣，∴g′（x）=﹣＞0x∈（1，2）恒成立，
∴g（x）min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，
即．
【解析】（1）函數(shù)的定義域是（0，+∞），求出導(dǎo)數(shù)，分a≤0和a＞0兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得到單調(diào)區(qū)間．
（2）將要證的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為g（x）＞0在區(qū)間（1，2）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最小值，
只要最小值大于0即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．