Question

【題目】在平面直角坐標系中，定義兩點與之間的“直角距離”為：．現給出下列4個命題：

①已知、，則為定值；

②已知三點不共線，則必有；

③用表示兩點之間的距離，則；

④若是橢圓上的任意兩點，則的最大值為6．

則下列判斷正確的為__________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據題中直角距離的定義先分別表示出問題的表達式，然后再一一判斷:

①直接利用新定義結合同角三角函數關系化簡即可得出結果;

②直接舉出反例論證推理原不等式不正確;

③設,,則,,然后利用基本不等式進行縮放進而可以判斷結果;

④先判斷當PQ過橢圓中心時最大，則設坐標P(),Q(),,然后利用新定義公式結合三角函數的相關公式縮放判斷求得結果.

① ，∴①正確；

② 反例如圖，此時；∴②錯誤；

③ 記，則，

由基本不等式得，，∴③正確；

④ 當的傾斜角恒定時，當且僅當過橢圓中心時，最長，

設，

則，∴④正確；

綜上，判斷正確的為①③④

故答案為: ①③④