Question

    已知函數f(x)=x²－1(x≥1)的圖象是C₁，函數y=g(x)的圖象C₂與C₁關于直線y=x對稱.

    (1)求函數y=g(x)的解析式及定義域M；

    (2)對于函數y=h(x)，如果存在一個正的常數a，使得定義域A內的任意兩個不等的值x₁，x₂都有|h(x₁)－h(x₂)|≤a|x₁－x₂|成立，則稱函數y=h(x)為A的利普希茨Ⅰ類函數.試證明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ類函數；

    (3)設A、B是曲線C₂上任意不同兩點，證明：直線AB與直線y=x必相交.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)由y=x2－1(x≥1)，得y≥0，且，     ∴，     即C2：，M={x|x≥0}.     (2)對任意的x1，x2∈M，且x1≠x2，則有x1－x2≠0，x1≥0，x2≥0.     ∴     ∴y=g(x)為利普希茨Ⅰ類函數，其中.     (3)設A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲線C2上不同兩點，x1，x2∈M，且x1≠x2.     由(2)知     ∴直線AB的斜率kAB≠1.     又∵直線y=x的斜率為1，∴直線AB與直線y=x必相交.