Question

【題目】是否存在互不相同的質數p、q、r、s，使得它們的和為640，且和都是完全平方數？若存在，求p、q、r、s的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由p+q+r+s=640，且p、q、r、s是互不相同的質數，知p、q、r、s都是奇數.

設

不妨再設s＜r，則m＜n.

由式①、②得

若m-p＞1，則由m-p＜n-p＜n+p，得m＋p＝g＝n-P.

從而，s＝m-p，r＝n＋p

故p＋q＋r＋s＝p＋q＋2q＝p＋3q＝640.

又由于s＝m-p＝q-2p≥3，故p≤90.

逐一令p為不大于90的質數加以驗證便知此時無解.

若m-p＝1，則

而q＜m＋p＜n＋p，故g＝n-P，r＝n＋p＝2p＋q.

p＋q＋r＋s＝3p＋2q＋s

=.

.

.

.

綜上，p＝167，q＝67，r＝401，s＝5或p＝167，q＝67，r＝5，s＝401.