Question

【題目】如圖，在P地正西方向16km的A處和正東方向2km的B處各一條正北方向的公路AC和BD，現計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F．

（1）若在P處看E，F的視角，在B處看E測得，求AE，BF；

（2）為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF，設，公路PF的毎千米建設成本為a萬元，公路PE的毎千米建設成本為8a萬元．為節省建設成本，試確定E，F的位置，使公路的總建設成本最小．

Answer 1

【答案】（1），．（2）當AE為4km，且BF為8km時，成本最小．

【解析】

（1）首先由條件可得，然后分別得到和，然后利用即可求出

（2）首先得出，然后利用導數求出其單調性即可

（1）在中，由題意可知，，則；

在中，，

在中；

因為，所以，

于是，

所以；

所以，．

（2）在中，由題意可知，則；

同理在中，，則；

令，，

則，

令，得，記，，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

所以時，取得最小值，

此時；

所以當AE為4km，且BF為8km時，成本最小．