Question

2010年11月廣州成功舉辦了第十六屆亞運會．在華南理工大學學生會舉行的亞運知識有獎問答比賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關亞運知識的問題，已知甲回答對這道題目的概率是

3

4

，甲、丙兩人都回答錯的概率是

1

12

，乙、丙兩人都回答對的概率是

1

4

．
（1）求乙、丙兩人各自回答對這道題目的概率．
（2）求回答對這道題目的人數的隨機變量ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）設乙、丙各自回答對的概率分別是p₁，p₂，根據題意，得

(1- 3 4 )•(1-p2)= 1 12 p1•p2= 1 4

，由此能求出乙、丙兩人各自回答對這道題目的概率．
（2）ξ可能取值0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和數學期望為Eξ．

解答：解：（1）設乙、丙各自回答對的概率分別是p₁，p₂，
根據題意，得

(1- 3 4 )•(1-p2)= 1 12 p1•p2= 1 4

，
解得p1 =

3

8

，p2=

2

3

．
故乙答對的概率為

3

8

，丙答對的概率為

2

3

．
（2）ξ可能取值0，1，2，3，
P（ξ=0）=

1

4

×

5

8

×

1

3

=

5

96

；
P（ξ=1）=

3×5×1+1×3×1+1×5×2

96

=

28

96

；
P（ξ=2）=

3×3×1+3×5×2+1×3×2

96

=

45

96

；
P（ξ=3）=

3×3×2

96

=

18

96

．
∴ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
p	5 96	7 24	15 32	3 16

數學期望為Eξ=

5

96

×0+

7

24

×1+

15

32

×2+

3

16

×3=

43

24

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型，解題時要認真審題，仔細解答．