Question

【題目】已知圓C1：x2+y2-2mx-4my+5m2-4=0（m∈R），圓C2：x2+y2=1．

（1）過定點M（1，-2）作圓C2的切線，求切線的方程；

（2）若圓C1與圓C2相交，求m的取值范圍；

（3）已知點P（2，0），圓C1上一點A，圓C2上一點B，求||的最小值的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x=1或3x+4y+5=0；（2）＜m＜；（3）[，+∞）

【解析】

（1）當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為x＝1；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y+2＝k（x﹣1），由圓心到直線的距離等于半徑求得k，則切線方程可求；

（2）由圓C1求得C1（m，2m），r1＝2，再求得C2（0，0），r2＝1，由圓C1與圓C2相交，得r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，由此可得實數(shù)m的范圍；

（3）由題意（﹣2，0）+（m﹣2，2m），求得與共線時的范圍為[1，3]，而，其最小值為，由此可得當(dāng)向量與共線同向且與反向時，||的最小值最小，答案可求．

（1）當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為x=1；

當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y+2=k（x-1），即kx-y-k-2=0．

由，解得k=-，此時切線方程為3x+4y+5=0．

∴切線方程為x=1或3x+4y+5=0；

（2）由圓C1：x2+y2-2mx-4my+5m2-4=0，得（x-m）2+（y-2m）2=4，

則C1（m，2m），r1=2，C2（0，0），r2=1．

由圓C1與圓C2相交，得r1-r2＜|C1C2|＜r1+r2，

∴1，即＜m＜；

（3）如圖，O（0，0），C1（m，2m），P（2，0），

則==（-2，0）+（m-2，2m）+

=（m-4，2m）+，

∵與共線，∴的范圍為[1，3]，

而=，

其最小值為，

∴當(dāng)向量與共線同向且與反向時，||的最小值最小，為，

∴||的最小值的取值范圍是[，+∞）．