Question

【題目】如圖所示，在直角坐標系中，曲線由中心在原點，焦點在軸上的半橢圓和以原點為圓心，半徑為2的半圓構成，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）寫出曲線的極坐標方程；

（2）已知射線與曲線交于點，點為曲線上的動點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）分別寫出曲線的上、下兩半部分的直角坐標方程，結合極坐標與直角坐標的互化公式，即可求解；

（2）把射線代入曲線的極坐標方程，求得點的極經，然后寫出的面積，求得其最大值即可.

（1）由題設可知，曲線上半部分的直角坐標方程為，

所以，曲線上半部分的極坐標方程為

曲線下半部分的直角坐標方程為，

所以，曲線下半部分的極坐標方程為，

故曲線的極坐標方程為，.

（2）由題設，將代入曲線的極坐標方程可得：，

又點為曲線上的動點，所以，

由面積公式得：，

當且僅當，時等號成立，

故面積的最大值為.