Question

【題目】等差數列和等比數列中， ，，是前項和.

(1)若 ，求實數的值；

(2)是否存在正整數，使得數列的所有項都在數列中?若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；

(3)是否存在正實數，使得數列中至少有三項在數列中，但中的項不都在數列中?若存在，求出一個可能的的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 所有的符合題意的.

(3) .

【解析】

試題分析：(1)數列是等比數列，其前和的極限存在，因此有公式滿足，且極限為；(2)由于是正整數，因此可對按奇偶來分類討論，因此當為奇數時，等比數列的公比不是整數，是分數，從而數列從第三項開始每一項都不是整數，都不在數列中，而當為偶數時，數列的所有項都在中，設，則，展開有

，這里用到了二項式定理，，結論為真；(3)存在時只要找一個，首先不能為整數，下面我們只要寫兩數列的通項公式，讓 ，取特殊值求出，如取，可得，此時在數列中，由于是無理數，會發現數列除第一項以外都是無理數，而是整數，不在數列中，命題得證，(如取其它的又可得到另外的值)．

試題解析：（1）對等比數列，公比．

因為，所以． ２分

解方程， ４分

得或．

因為，所以． ６分

（2）當取偶數時，中所有項都是中的項． 8分

證: 由題意：均在數列中，

當時，

說明的第n項是中的第項． 10分

當取奇數時，因為不是整數，

所以數列的所有項都不在數列中。 12分

綜上，所有的符合題意的。

（3）由題意，因為在中，所以中至少存在一項在中，另一項不在中。 14分

由得，

取得，即.

取4，得（舍負值）。此時。 16分

當時，，，對任意，. 18分

綜上，取．

(此問答案不唯一，請參照給分)