Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）設，若函數的兩個極值點恰為函數的兩個零點，且的范圍是，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，單調遞減區間為，無單調遞增區間；當時，單調遞減區間為；單調遞增區間為；（2）

【解析】

（1）求解導函數，根據導函數的分子（二次函數）分類討論與的關系，從而可分析出函數的單調性；

（2）根據已知條件構造關于的新函數，根據新函數的單調性分析出的取值范圍，然后根據與的關系即可求解出的取值范圍.

解：（1）的定義域為，.

（i）若，則，當且僅當，時，

（ii）若，令得.

當時，；

當時，，

所以，當時，單調遞減區間為，無單調遞增區間；

當時，單調遞減區間為；

單調遞增區間為.

（2）由（1）知：且.

又，∴，

由得，

∴.

令，∴，

∴，所以在上單調遞減.

由y的取值范圍是，得t的取值范圍是，

∵，∴，

∴，

又∵，故實數a的取值范圍是.