Question

已知復數z=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均為實數，i為虛數單位，且對于任意復數z，有w=，|w|=2|z|．
（Ⅰ）試求m的值，并分別寫出x'和y'用x、y表示的關系式；
（Ⅱ）將（x、y）作為點P的坐標，（x'、y'）作為點Q的坐標，上述關系可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點P變到這一平面上的點Q，當點P在直線y=x+1上移動時，試求點P經該變換后得到的點Q的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設，，求出|z|=2，繼而求出m，再根據復數相等得出x'和y'用x、y表示的關系式；
（Ⅱ）利用轉換，代換的方法，求軌跡方程；
（Ⅲ）假設存在這樣的直線，∵平行坐標軸的直線顯然不滿足條件，所求直線可設為y=kx+b（k≠0）
結合以上兩問求解．
解答：解：（Ⅰ）由題設，，∴|z|=2，
于是由，…（3分）
因此由，
得關系式…（5分）
（Ⅱ）設點P（x，y）在直線y=x+1上，則其經變換后的點Q（x'，y'）滿足，…（7分）
消去x，得，
故點Q的軌跡方程為…（10分）
（3）假設存在這樣的直線，∵平行坐標軸的直線顯然不滿足條件，
∴所求直線可設為y=kx+b（k≠0），…（12分）
[解法一]∵該直線上的任一點P（x，y），其經變換后得到的點仍在該直線上，
∴，
即，
當b≠0時，方程組無解，
故這樣的直線不存在．                                            …（16分）
當b=0時，由，
得，
解得或，
故這樣的直線存在，其方程為或，…（18分）
[解法二]取直線上一點，其經變換后的點仍在該直線上，
∴，
得b=0，…（14分）
故所求直線為y=kx，取直線上一點P（0，k），其經變換后得到的點仍在該直線上．
∴，…（16分）
即，得或，
故這樣的直線存在，其方程為或，…（18分）
點評：本題考查復數的有關概念和計算，軌跡方程的求解，考查轉化、代入、計算、推理能力．