Question

如圖，對每個正整數n，A_n(x_n，y_n)是拋物線x²＝4y上的點，過焦點F的直線FA_n交拋物線于另一點B_n(S_n，t_n)．C_n為拋物線上分別以A_n與B_n為切點的兩條切線的交點．

(1)求證∠A_nC_nB_n＝90o；

(2)求證點C_n的縱坐標是一個定值，并求這個定值；

(3)若|FC₁|、|FC₂|、|FC₃|、…、|FC_n|構成首項為3，公比為2的等比數列，求|A₁B₁|＋|A₂B₂|＋|A₃B₃|＋…＋|A_nB_n|．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)對任意固定的因為焦點F(0，1)，所以可設直線的方程為 　　將它與拋物線方程聯立得， 　　由一元二次方程根與系數的關系得……★ 　　對任意固定的利用導數知識易得拋物線在處的切線的斜率 　　故在處的切線的方程為：　，……① 　　類似地，可求得在處的切線的方程為：，……② 　　又故∠AnCnBn＝90o 　　(2)又由②－①得：， 　　……③ 　　將③代入①并注意得交點的縱坐標為－1． 　　(3)由拋物線定義知，，，又 　　故 　　而由兩點間的距離公式得： 　　故 　　故 　　所以， 　　＝