Question

【題目】如圖，已知拋物線的標準方程為，其中為坐標原點，拋物線的焦點坐標為，為拋物線上任意一點（原點除外），直線過焦點交拋物線于點，直線過點交拋物線于點，連結并延長交拋物線于點．

（1）若弦的長度為8，求的面積；

（2）求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出拋物線的方程.設直線的方程為（為斜率的倒數），代入拋物線的方程，韋達定理、弦長公式求出，即可求出的面積；

（2）設，則，可得.設直線的方程為，代入拋物線方程，可求得，可得.利用基本不等式可求的最小值．

（1）因為焦點坐標為，所以，

所以拋物線的方程為.

設直線的方程為（為斜率的倒數）.

由，得，則有

所以，

的面積為.

（另解：到直線的距離為，所以的面積為）.

（2）因為在拋物線上，可以設，根據第（1）問可知，兩點的縱坐標之積為定值為，所以，則有，其中

可得：

設直線的方程為，

由 ，得，所以可知，兩點的縱坐標之積為

所以，同理可得

綜上可知：

所以有（等號成立條件）

則有最小值為．