Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+ x2﹣ax（a為常數）有兩個極值點．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）設f（x）的兩個極值點分別為x1 ， x2 ， 若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），

f′（x）= 且f′（x）=0有兩個不同的正根，即x2﹣ax+a=0兩個不同的正根x1，x2，（x1＜x2）

則 ，∴a＞4，

（0，x1），f′（x）＞0，（x1，x2），f′（x）＜0，（x2，+∞），f′（x）＞0，

∴x1，x2是f（x）的兩個極值點，符合題意，

∴a＞4；

（2）解：f（x1）+f（x2）=alnx1+ x12﹣ax1+alnx2+ x22﹣ax2=a（lna﹣ a﹣1），

∴ =lna﹣ a﹣1，

令y=lna﹣ a﹣1，則y′= ﹣ ，

∵a＞4，

∴y′＜0，

∴y=lna﹣ a﹣1在（4，+∞）上單調遞減，

∴y＜ln4﹣3，

∵不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，x1+x2＞0，

∴是λ的最小值ln4﹣3

【解析】（1）f′（x）= 且f′（x）=0有兩個不同的正根，即x2﹣ax+a=0兩個不同的正根，即可求實數a的取值范圍；（2）利用韋達定理，可得 =lna﹣ a﹣1，構造函數，確定函數的單調性，求出其范圍，即可求λ的最小值．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．