Question

【題目】已知AOB的一個頂點O是拋物線C：的頂點，A、B兩點都在C上，且=0，

（1）證明：直線AB恒過定點P（2，0）

（2）求AOB面積的最小值

Answer 1

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）4.

【解析】

（1）由得所在直線與所在的直線垂直，設出直線方程，與拋物線方程聯立求出、兩點的坐標，由兩點式得直線AB的方程，化簡整理即可得到答案.

（2）由（1）的結論設出直線AB的方程，聯立直線與拋物線的方程化簡，由根與系數的關系及弦長公式即可求得的面積的表達式，利用二次函數的性質即可得到答案.

（1）依題設所在的直線為，

因為，所以，

所以所在的直線為,

由 解得或，

所以點的坐標為.

同理由可得點的坐標為

所以所在的直線方程為，

化簡整理得：，

所以對任何不為0的實數，當時，恒有，

所以直線AB恒過定點.

（2）由（1）知直線AB恒過定點，

則可直線AB的方程為，設

由得,

則

所以

，

所以

所以當時，的面積取得最小值為