Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．
（1）求函數f（x）的單調區間．
（2）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，任意的0＜a＜b， ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

當m≤0時，f′（x）＞0恒成立，則函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

當m＞0時，由

則 ，則f（x）在 上單調遞增，在 上單調遞減．

（2）

解：由（1）得：當m≤0時顯然不成立；

當m＞0時， 只需m﹣lnm﹣1≤0即

令g（x）=x﹣lnx﹣1，

則 ，函數g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．∴g（x）min=g（1）=0．則若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．

（3）

解：

由0＜a＜b得 ，

由（2）得： ，則 ，

則原不等式 成立．

【解析】（1）求函數f（x）的單調區間，可先求 ，再解出函數的單調區間；（2）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，可利用導數研究函數的單調性確定出函數的最大值，令最大值小于等于0，即可得到關于m的不等式，解出m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，任意的0＜a＜b，可先代入函數的解析式，得出 再由0＜a＜b得出 ，代入即可證明出不等式．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．