Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R．
（1）若函數y=f（x）的圖象與x軸無交點，求a的取值范圍；
（2）若函數y=f（x）在[﹣1，1]上存在零點，求a的取值范圍；
（3）設函數g（x）=bx+5﹣2b，b∈R．當a=0時，若對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數y=f（x）的圖象與x軸無交點，

∴方程f（x）=0的判別式△＜0，

∴16﹣4（a+3）＜0，解得a＞1，

∴a的取值范圍為（1，+∞）；

（2）解：∵f（x）=x2﹣4x+a+3的對稱軸是x=2，

∴y=f（x）在[﹣1，1]上是減函數，

∵y=f（x）在[﹣1，1]上存在零點，

∴必有： ，即 ，

解得：﹣8≤a≤0，

故實數a的取值范圍為﹣8≤a≤0；

（3）解：若對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2），

只需函數y=f（x）的值域為函數y=g（x）值域的子集．

當a=0時，f（x）=x2﹣4x+3的對稱軸是x=2，∴y=f（x）的值域為[﹣1，3]，

下面求g（x）=bx+5﹣2b，x∈[1，4]的值域，

①當b=0時，g（x）=5，不合題意，舍

②當b＞0時，g（x）=bx+5﹣2b的值域為[5﹣b，5+2b]，只需要 ，解得b≥6

③當b＜0時，g（x）=bx+5﹣2b的值域為[5+2b，5﹣b]，只需要 ，解得b≤﹣3

綜上：實數b的取值范圍b≥6或b≤﹣3

【解析】（1）根據題意，可以將問題轉化為二次函數對應的方程無實數根，利用△＜0列出不等關系式，求解即可得到a的取值范圍；（2）根據二次函數的對稱軸為x=2，可以判斷出二次函數在去甲[﹣1，1]上的單調性，再根據零點的存在性定理列出不等式組，求解即可得到a的取值范圍；（3）根據題意，將問題轉化為函數y=f（x）的值域為函數y=g（x）值域的子集，根據二次函數的性質，即可求得f（x）的值域，對于g（x），對其一次項系數進行分類討論，分別得到g（x）的值域，分別求解，即可得到b的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．