Question

【題目】設函數.

（Ⅰ）討論的極值；

（Ⅱ）若曲線和曲線在點處有相同的切線，且當時，，求的取值范圍 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出導函數，然后根據參數的取值判斷出函數的單調性，進而得到極值．（Ⅱ）由兩曲線的切線相同得，設，根據，解得．然后由得，再根據兩根的大小對函數的單調性進行分類討論，通過分析是否滿足題意可得所求參數的范圍．

（Ⅰ）∵，

∴．

①當時，恒成立，所以在上單調遞增，無極值．

②當時，由得，

且當時，單調遞減；當時，單調遞增．

所以當時，有極小值，且，無極大值．

③當時，由得，

且當時，單調遞增；當時，單調遞減．

所以當時，有極大值，且，無極小值．

綜上所述，當時，無極值；

當時，，無極大值；

當時， ，無極小值．

（Ⅱ）由題意得，

∵和在點處有相同的切線，

∴，即，解得，

∴．

令，

則，

由題意可得，解得．

由得．

①當，即時，則，

∴當時，單調遞減；當時，單調遞增，

∴上的最小值為，∴恒成立．

②當，即時，則，

∴當時，在上單調遞增，

又，

∴當時，，即恒成立．

③當，即時，

則有，

從而當時，不可能恒成立．

綜上所述的取值范圍為．