Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直線l的參數方程為（t為參數），直線l與曲線C交于M，N兩點.

（1）若點P的極坐標為（2，π），求|PM||PN|的值；

（2）求曲線C的內接矩形周長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）16

【解析】

（1）利用極坐標轉化為直角坐標的公式，求得曲線的直角坐標方程.求得的直角坐標，由此判斷在直線上，求得直線的標準參數方程，代入曲線的直角坐標方程，化簡后寫出韋達定理，結合直線參數的幾何意義，求得的值.

（2）求得橢圓內接矩形周長的表達式，結合三角函數最值的求法，求得周長的最大值.

（1）曲線C的極坐標方程為ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，轉換為直角坐標方程為.

點P的極坐標為（2，π），轉換為直角坐標為（﹣2，0）由于點P（﹣2，0）在直線l上，

所以直線l的參數方程為（t為參數），轉化為（t為參數），

所以代入曲線的方程為，

整理得，

所以|PM||PN|＝|t1t2|＝4.

（2）不妨設Q（），（），

所以該矩形的周長為4（）＝16sin（）.

當時，矩形的周長的最大值為16.