Question

【題目】設為常數，函數，給出以下結論：

（1）若，則存在唯一零點

（2）若，則

（3）若有兩個極值點，則

其中正確結論的個數是（ ）

A. 3B. 2C. 1D. 0

Answer 1

【答案】A

【解析】

（1）先根據函數存在零點，得到方程有實根，再令，將問題轉為函數圖像與直線有交點即可，用導數的方法研究函數單調性和最值，即可得出結論成立；

（2）根據（1）的結果，可判斷當時，在上恒成立，從而可得在上恒成立，即可得出結論成立；

（3）先對函數求導，根據題意得到，再將函數有兩極值點，轉化為方程有兩不等式實根來處理，用導數的方法研究其單調性，和值域，進而可得出結論成立.

（1）若函數存在零點，只需方程有實根，即方程有實根，令，則只需函數圖像與直線有交點即可.

又，由可得；由可得；

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

故，

因此，當時，直線與圖像僅有一個交點，即原函數只有一個零點，所以（1）正確；

（2）由（1）可知，當時，在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立；故（2）正確；

（3）因為，所以，

若有兩個極值點，則，所以，

又由有兩個極值點，可得方程有兩不等實根，即方程有兩不等式實根，令，則，

由得；由得；

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，又當時，；當時，；

所以方程有兩不等式實根，只需直線與函數的圖像有兩不同交點，故；所以，即（3）正確.

故選A