Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的極值；

（2）設，對任意都有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的極大值為，無極小值；（2）.

【解析】

（1）把代入，然后求出函數的定義域，對函數求導，結合導數與單調性的關系可求函數的極值，

（2）令，根據已知可轉化為，結合導數進行求解．

（1）當時，，所以函數的定義域為，

所以，且，

令，

所以當時，，

所以.

又，

所以當時，，

所以在上單調遞減，故.

同理當時，；

當時，，

所以在是單調遞增，在單調遞減，

所以當時，的極大值為，無極小值.

（2）令，

因為對任意都有成立，

所以.

因為，

所以.

令，即，解得；

令，即，解得.

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以.

因為，

所以，當時，

令，即，解得；令，即，解得.

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，

所以，

所以，即實數的取值范圍為.