Question

【題目】已知直線過橢圓的右焦點，且交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點是，

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點的直線l與線段AB相交（不含端點）且交橢圓于C，D兩點，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由直線可得橢圓右焦點的坐標為,由中點可得,且由斜率公式可得,由點在橢圓上,則,二者作差,進而代入整理可得,即可求解；

（2）設直線,點到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長公式求得,利用點到直線距離求得,根據直線l與線段AB（不含端點）相交,可得,即,進而整理換元,由二次函數性質求解最值即可.

（1）直線與x軸交于點,所以橢圓右焦點的坐標為,故,

因為線段AB的中點是,

設,則,且,

又,作差可得,

則,得

又,

所以,

因此橢圓的方程為.

（2）由（1）聯立,解得或,

不妨令,易知直線l的斜率存在,

設直線,代入,得,

解得或,

設,則,

則,

因為到直線的距離分別是,

由于直線l與線段AB（不含端點）相交,所以,即,

所以,

四邊形的面積,

令,,則,

所以,

當,即時,，

因此四邊形面積的最大值為.