Question

【題目】設函數

（1）當時，曲線與直線相切，求實數的值；

（2）若函數在[1,3]上存在單調遞增區間，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】 m＝﹣2或mln2；（﹣∞，）

【解析】

（1）將a＝0代入f（x），求出f（x）的導數，得到f′（x）＝3，解得x的值，求出切點坐標，代入求出m的值即可；

（2）假設函數f（x）在[1，3]上不存在單調遞增區間，必有g（x）≤0，得到關于a的不等式組，解出即可．

（1）當a＝0時，f（x）＝lnx+x2，x∈（0，+∞），

f′（x）2x＞0，

令f′（x）＝3，解得：x＝1或x，

代入f（x）得切點坐標為（1，1），或（，ln2），

將切點坐標代入直線y＝3x+m，解得：m＝﹣2或mln2；

（2）f′（x）2x﹣2a，x∈[1，3]，

設g（x）＝2x2﹣2ax+1，

假設函數f（x）在[1，3]上不存在單調遞增區間，必有g（x）≤0，

于是，解得：a，

故要使函數f（x）在[1，3]上存在單調遞增區間，

則a的范圍是（﹣∞，）．