Question

【題目】甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產品推銷員，日工資方案如下: 甲公司規定底薪80元，每銷售一件產品提成1元; 乙公司規定底薪120元，日銷售量不超過45件沒有提成，超過45件的部分每件提成8元.

(I)請將兩家公司各一名推銷員的日工資 (單位: 元) 分別表示為日銷售件數的函數關系式;

(II)從兩家公司各隨機選取一名推銷員，對他們過去100天的銷售情況進行統計，得到如下條形圖。若記甲公司該推銷員的日工資為,乙公司該推銷員的日工資為 (單位: 元)，將該頻率視為概率，請回答下面問題:

某大學畢業生擬到兩家公司中的一家應聘推銷員工作，如果僅從日均收入的角度考慮，請你利用所學的統計學知識為他作出選擇，并說明理由.

【答案】(I)見解析； (Ⅱ)見解析.

【解析】分析：(I)依題意可得甲公司一名推銷員的工資與銷售件數的關系是一次函數的關系式，而乙公司是分段函數的關系式，由此解得；(Ⅱ)分別根據條形圖求得甲、乙公司一名推銷員的日工資的分布列，從而可分別求得數學期望，進而可得結論.

詳解：(I)由題意得,甲公司一名推銷員的日工資 (單位:元) 與銷售件數的關系式為: .

乙公司一名推銷員的日工資 (單位: 元) 與銷售件數的關系式為:

(Ⅱ)記甲公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為

	122	124	126	128	130
	0.2	0.4	0.2	0.1	0.1

記乙公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為

	120	128	144	160
	0.2	0.3	0.4	0.1

∴

∴僅從日均收入的角度考慮，我會選擇去乙公司.

點睛：求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：

第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；

第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；

第三步是“寫分布列”，即按規范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；

第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值

【題型】解答題
【結束】
19

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形， 平面， ， ， ， 分別是， 的中點.

（1）證明： ；

（2）設為線段上的動點，若線段長的最小值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）證明線線垂直則需證明線面垂直，根據題意易得，然后根據等邊三角形的性質可得，又，因此得平面，從而得證（2）先找到EH什么時候最短，顯然當線段長的最小時， ，在中， ， ， ，∴，由中， ， ，∴.然后建立空間直角坐標系，寫出兩個面法向量再根據向量的夾角公式即可得余弦值

解析：（1）證明：∵四邊形為菱形， ，

∴為正三角形.又為的中點，∴.

又，因此.

∵平面， 平面，∴.

而平面， 平面且，

∴平面.又平面，∴.

（2）如圖， 為上任意一點，連接， .

當線段長的最小時， ，由（1）知，

∴平面， 平面，故.

在中， ， ， ，

∴，

由中， ， ，∴.

由（1）知， ， 兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又， 分別是， 的中點，

可得， ， ， ，

， ， ，

所以， .

設平面的一法向量為，

則因此，

取，則，

因為， ， ，所以平面，

故為平面的一法向量.又，

所以 .

易得二面角為銳角，故所求二面角的余弦值為.