Question

如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且，|BC|=2|AC|．
（I）建立適當的坐標系，求橢圓方程；
（II）如果橢圓上有兩點P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：存在實數λ，使．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程，根據長軸求得a，點A是長軸的一個頂點可求得A的坐標．根據 判斷△AOC是等腰直角三角形，進而求得C的坐標代入橢圓的方程求得b，最后可得橢圓的方程．
（Ⅱ）設直線PC的方程與橢圓方程聯立，消元后根據△＞0判斷k的范圍．設點P（x₁，y₁）由韋達定理可求得x₁和y₁關于k的表達式，直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形推斷直線CP、CQ的斜率互為相反數，進而得到k的范圍，同樣的設點Q（x₂，y₂），根據韋達定理求得x₂和y₂關于k的表達式，根據橢圓是中心對稱圖形求得點B的坐標，根據 關系得證．
解答：解：（I）以O為原點，OA為X軸建立直角坐標系，設A（2，0），則橢圓方程為…2′
∵O為橢圓中心，∴由對稱性知|OC|=|OB|
又∵，∴AC⊥BC
又∵|BC|=2|AC|∴|OC|=|AC|
∴△AOC為等腰直角三角形
∴點C的坐標為（1，1）∴點B的坐標為（-1，-1）…4
將C的坐標（1，1）代入橢圓方程得，
則求得橢圓方程為…6′
（II）由于∠PCQ的平分線垂直于OA（即垂直于x軸），不妨設PC的斜率為k，則QC的斜率為-k，因此PC、QC的直線方程分別為y=k（x-1）+1，y=-k（x-1）+1
由得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0*）…8′
∵點C（1，1）在橢圓上，
∴x=1是方程（*）的一個根，∴x_P•1=即x_P=
同理x_Q=…9′
∴直線PQ的斜率為（定值）…11′
又∠ACB的平分線也垂直于OA
∴直線PQ與AB的斜率相等（∵k_AB=）
∴向量，即總存在實數λ，使成立．…12′
點評：本題以向量為載體，主要考查了橢圓的標準方程和平面向量的知識．能考查學生綜合運用所學知識的能力．