Question

給出以下五個命題：
①y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中相鄰兩個對稱中心的距離為π；
②y=

x+3

x-1

的圖象關于點（-1，1）對稱；
③關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實根，則a=-1
④命題P：對任意x∈R，都有sinx≤1；則￢p：存在x∈R，使得sinx＞1；
⑤函數y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值為2．其中真命題的序號是

③④

．

Answer 1

分析：將函數利用誘導公式和二倍角正弦的公式化簡整理，得y=

1

2

cos2x，所以它的周期為π，由此可知①不正確；對于②，函數化簡為y=

4

x-1

+1，故它的圖象關于點（1，1）對稱，故②不正確；利用一元二次方程根的判斷式，對方程進行討論，可得③正確；根據含有量詞命題的否定法則，可得④正確；根據基本不等式的等號成立的條件，可得⑤不正確．

解答：解：①y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

sin(2x+

π

2

)=

1

2

cos2x，
∴y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中相鄰兩個對稱中心的距離為

π

2

，故①不正確；
②y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，它的圖象由y=

4

x

先右移一個單位，再上移一個單位而得，
因為y=

4

x

的圖象關于原點對稱，所以y=

x+3

x-1

的圖象關于點（1，1）對稱，故②不正確；
③∵關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實根，
∴當a=0時，-1=0矛盾，
當a≠0時，根的判別式△=4a²+4a=0，解得a=-1（舍零），故③正確；
④根據含有量詞的命題的否定，得
命題P：“對任意x∈R，都有sinx≤1．”的否定￢p：“存在x∈R，使得sinx＞1．”，故④正確；
⑤根據基本不等式，y=3^x+3^-x≥2

3x•3-x

=2，
當且僅當x=0時，函數的最小值是2，而條件中x為負數，故⑤不成立．
故答案為：③④．

點評：本題考查真假命題的判斷，解題時要認真審題，注意三角函數、函數的對稱中心、一元二次方程根的判別式、基本不等式等知識點的靈活運用，是基礎題．