Question

某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本（萬元）與年產量（噸）之間的函數關系式可以近似地表示為，已知此生產線年產量最大為210噸。      
（1）求年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低，并求每噸產品平均最低成本；
（2）若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

（1）年產量為200噸時，每噸平均成本最低為32萬元；  
（2）年產量為210噸時，可獲得最大利潤1660萬元。  

本題考查將實際問題的最值問題轉化為函數的最值問題、考查利用基本不等式求函數的最值需滿足：一正、二定、三相等、考查求二次函數的最值關鍵看對稱軸
（1）利用總成本除以年產量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入減去總成本表示出年利潤；通過配方求出二次函數的對稱軸；由于開口向下，對稱軸處取得最大值．
解：（1）生產每噸產品的平均成本為
，             
由于，
當且僅當時，即時等號成立。     
答：年產量為200噸時，每噸平均成本最低為32萬元；  
（2）設年利潤為，則 
，         
由于在上為增函數，故當
時，的最大值為1660。
答：年產量為210噸時，可獲得最大利潤1660萬元。