Question

本題包括高考A，B，C，D四個選題中的B，C兩個小題，每小題10分，共20分．把答案寫在答題卡相應的位置上．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

1 1 2 1

，向量

β

=

1 2

．求向量

α

，使得A2

α

=

β

．
C．選修4-4：極坐標與參數方程
在直角坐標系x0y中，直線l的參數方程為

x= 1 2 t y= 2 2 + 3 2 t

（t為參數），若以直角坐標系xOy的O點為極點，Ox為極軸，且長度單位相同，建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程為ρ=2cos(θ-

π

4

)．
（1）求直線l的傾斜角；
（2）若直線l與曲線l交于A、B兩點，求AB．

Answer 1

分析：B、利用矩陣的乘法，計算A²，再利用矩陣與平面列向量的乘法，即可求得結論；
C、（1）設直線l的傾斜角為θ，利用參數方程可得

cosθ= 1 2 sinθ= 3 2

，結合θ∈[0，π），即可得到直線l的傾斜角；
（2）求出l的普通方程，曲線C的直角坐標方程，計算圓心到直線l的距離，即可得到|AB|．

解答：B．選修4-2：矩陣與變換
解：∵A=

1 1 2 1

，∴A2=

1 1 2 1

1 1 2 1

=

3 2 4 3

…（4分）
設

α

=

x y

，則∵A2

α

=

β

∴

3 2 4 3

x y

=

1 2

∴

3x+2y 4x+3y

=

1 2

…（8分）
∴

3x+2y=1 4x+3y=2

，
∴

x=-1 y=2

，
∴

α

=

-1 2

．…（10分）
C．選修4-4：極坐標與參數方程
解：（1）設直線l的傾斜角為θ，則

cosθ= 1 2 sinθ= 3 2

且θ∈[0，π），∴θ=

π

3

，即直線l的傾斜角為

π

3

…（5分）
（2）l的普通方程為y=

3

x+

2

2

，ρ=2cos(θ-

π

4

)的直角坐標方程為(x-

2

2

)2+(y-

2

2

)2=1，
所以圓心(

2

2

，

2

2

)到直線l的距離d=

6

4

，
∴|AB|=

10

2

…（10分）

點評：本題考查矩陣與變換，考查極坐標與參數方程，正確運用矩陣與平面列向量的乘法，化參數方程為普通方程，極坐標方程為直角坐標方程是關鍵．