Question

下列命題中的真命題的個數(shù)是
（1）命題“若x=1，則x²+x-2=0”的否命題為“若x=1，則x²+x-2≠0”；
（2）若命題p：?x₀∈（-∞，0]，(

1

2

)x0≥1，則?p：?x∈（0，+∞），(

1

2

)x＜1；
（3）設(shè)命題p：?x₀∈（-∞，0），2x0＜3x0，命題q：?x∈（0，

π

2

），tanx＞sinx，則（?p）∧q為真命題；
（4）設(shè)a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a²+b²＜1”的必要不充分條件．（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：（1）根據(jù)否命題的定義判斷．（2）利用特稱命題的否定是全稱命題來判斷．（3）利用復(fù)合命題的真假關(guān)系判斷．（4）利用充分條件和必要條件的定義其判斷．

解答：解：（1）命題“若x=1，則x²+x-2=0”的否命題為“若x≠1，則x²+x-2≠0”，所以（1）錯誤．
（2）特稱命題的否定是全稱命題．所以?p：?x∈（0，+∞），(

1

2

)x＜1，所以（2）正確．
（3）因?yàn)?span id="ffr7dfp" class="MathJye">

2x

3x

=(

2

3

)x，當(dāng)x＜0時，

2x

3x

=(

2

3

)x＞1，即2^x＞3^x，所以命題p為假命題．當(dāng)x∈（0，

π

2

）時，sinx＞0，0＜cosx＜1，所以

1

cosx

＞1，
所以tanx=

sinx

cosx

＞sinx，即命題q為真命題．所以￢p為真，所以（?p）∧q為真命題，所以（3）正確．
（4）若“a²+b²＜1”，則a²+2ab+b²＜1+2ab+a²•b²，即（a+b）²＜（1+ab）²，因?yàn)閍，b∈R，所以無法確定ab+1與a+b關(guān)系．
若ab+1＞a+b，當(dāng)a=b=2時，ab+1＞a+b成立，但a²+b²＜1不成立，所以“ab+1＞a+b”是“a²+b²＜1”既不充分也不必要條件，所以（4）錯誤．
所以真命題的個數(shù)是2個．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查各種命題的真假判斷，要求熟練掌握各章節(jié)的基礎(chǔ)知識和性質(zhì)．