Question

（本題滿分13分）
如圖,點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點.點P在橢圓上,且位于x軸的上方,PA⊥PF.

(1)求點P的坐標；
(2)設M橢圓長軸AB上的一點,M到直線AP的距離等于,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值

Answer 1

（1）(,)
（2）

解（1）由已知可得點A(－6,0),F(0,4)
設點P(x,y),則=（x+6,y）,=(x－4,y),由已知可得
則2x2+9x－18=0,x=或x=－6. 由于y>0,只能x=,于是y=.
∴點P的坐標是(,)
(2) 直線AP的方程是x－y+6="0.  " 設點M(m,0),則M到直線AP的距離是.
于是=,又－6≤m≤6,解得m=2.
橢圓上的點(x,y)到點M的距離d有
d2=(x－2)2+y2=x－4x2+4+20－x2=(x－)2+15,
由于－6≤x≤6, ∴當x=時,d取得最小值.