Question

【題目】已知函數 f(x) = －ax(a > 0).

(1) 當 a = 1 時，求證：對于任意 x > 0，都有 f(x) > 0 成立；

(2) 若函數 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 兩處取得極值，求證：< ln a.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析.

【解析】

（1）先求導，根據導數，利用函數單調性和函數的最值即可證得，

（2）根據題意可得x1，x2是方程f′（x）＝0的兩個實數根，不妨設x1＜x2，可以判斷a＞1，分別根據函數零點存在定理可得f′（x1）＝f′（x2）＝0，可得aa＝0，即可得到a，則f″（）（），設t＞0，再根據函數g（t）＝（2t﹣et）et+1，求導，借助于（1）的結論即可證明.

（1）當a＝1時，f（x）＝exx2﹣x，

則f′（x）＝ex﹣x﹣1，

∴f″（x）＝ex﹣1＞0，（x＞0），

∴f′（x）＝ex﹣x﹣1單調遞增，

∴f′（x）＞f′（0）＝0，

∴f（x）單調遞增，

∴f（x）＞f（0）＝1＞0，

故對于任意x＞0，都有f（x）＞0成立；

（2）∵函數y＝f（x）恰好在x＝x1和x＝x2兩處取得極值

∴x1，x2是方程f′（x）＝0的兩個實數根，不妨設x1＜x2，

∵f′（x）＝ex﹣ax﹣a，f″（x）＝ex﹣a，

當a≤0時，f″（x）＞0恒成立，∴f′（x）單調遞增，f′（x）＝0至多有一個實數解，不符合題意，

當a＞0時，f″（x）＜0的解集為（﹣∞，lna），f″（x）＞0的解集為（lna，+∞），

∴f′（x）在（﹣∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，

∴f′（x）min＝f′（lna）＝﹣alna，

由題意，應有f′（lna）＝﹣alna＜0，解得a＞1，

此時f′（﹣1）0，

∴存在x1∈（﹣1，lna）使得f′（x1）＝0，

易知當時，f(x).

∴存在x2∈（lna，）使得f′（x2）＝0，

∴a＞1滿足題意，

∵f′（x1）＝f′（x2）＝0，

∴aa＝0，

∴a，

∴f″（）a（），

設t＞0，

∴et，

設g（t）＝（2t﹣et）et+1，

∴g′（t）＝2（t+1﹣et）et，

由（1）可知，g′（t）＝2（t+1﹣et）et＜0恒成立，

∴g（t）單調遞減，

∴g（t）＜g（0）＝0，

即f″（）＜0，

∴

∴lna．