Question

【題目】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.

某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：

方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次.

方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).

若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.

假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若p與干擾素計(jì)量相關(guān)，其中（）是不同的正實(shí)數(shù)，

滿足且（）都有成立.

（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；

（ii）當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值

Answer 1

【答案】（1），（，且）.（2）（i）見解析（ii）最大值為4.

【解析】

（1）由題設(shè)可知，的所有可能取值為1，，求，再根據(jù),求；

（2）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，∴，令，則，

利用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（ⅱ）由（ⅰ）可知，由可知，再設(shè)函數(shù)（），利用函數(shù)的單調(diào)性求的最大值.

（1）解：由已知，，，得，

的所有可能取值為1，，

∴，.

∴.

若，則，，∴，∴.

∴p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為，（，且）.

（2）（i）∵證明：當(dāng)時(shí)，，∴，令，則，

∵，∴下面證明對任意的正整數(shù)n，.

①當(dāng)，2時(shí)，顯然成立；

②假設(shè)對任意的時(shí)，，下面證明時(shí)，；

由題意，得，∴，

∴，，

∴，.

∴或（負(fù)值舍去）.∴成立.

∴由①②可知，為等比數(shù)列，.

（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.

設(shè)（），，∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)減.

又，，∴；，.∴.

∴k的最大值為4.