Question

某工廠有216名工人接受了生產(chǎn)1000臺GH型高科技產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù)，已知每臺GH型產(chǎn)品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成．每個工人每小時能加工6個G型裝置或3個H型裝置．現(xiàn)將工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置．設(shè)加工G型裝置的工人有x人，他們加工完G型裝置所需時間為g（x），其余工人加工完H型裝置所需時間為h（x）（單位：小時，可不為整數(shù)）．
（1）寫出g（x），h（x）的解析式；
（2）比較g（x）與h（x）的大小，并寫出這216名工人完成總?cè)蝿?wù)的時間f（x）的解析式；
（3）應(yīng)怎樣分組，才能使完成總?cè)蝿?wù)用的時間最少？

Answer 1

分析：（1）由題意，得出每小時加工的G型裝置和H型裝置的個數(shù)，求出總的個數(shù)，即可得出寫出g（x），h（x）的解析式；
（2）用作差法比較大小即可，得出分配人數(shù)x的范圍與兩函數(shù)值大小的關(guān)系，總加工時間以后加工完成的零件所需的時間計，由此利用分段函數(shù)寫出f（x）的解析式；
（3）求函數(shù)f（x）的最小值，算出最小值時的自變量即得，由于函數(shù)f（x）是一個分段函數(shù)，故要對每一段上的最值作出研究，再進行比較得到函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）由題意知，需加工G型裝置4000個，加工H型裝置3000個，所用工人分別為x人，（216-x）人．
∴g（x）=

4000

6x

，h（x）=

3000

(216-x)•3

，
即g（x）=

2000

3x

，h（x）=

1000

216-x

（0＜x＜216，x∈N^*）．
（2）g（x）-h（x）=

2000

3x

-

1000

216-x

=

1000•(432-5x)

3x(216-x)

．
∵0＜x＜216，
∴216-x＞0．
當(dāng)0＜x≤86時，432-5x＞0，g（x）-h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
當(dāng)87≤x＜216時，432-5x＜0，g（x）-h（x）＜0，g（x）＜h（x）．
∴f(x)=

2000 3x ，0＜x≤86，x∈N+ 1000 216-x ，87≤x≤216，x∈N+

（3）完成總?cè)蝿?wù)所用時間最少即求f（x）的最小值．
當(dāng)0＜x≤86時，f（x）遞減，
∴f（x）≥f（86）=

2000

3×86

=

1000

129

．
∴f（x）_min=f（86），此時216-x=130．
當(dāng)87≤x＜216時，f（x）遞增，
∴f（x）≥f（87）=

1000

216-87

=

1000

129

．
∴f（x）_min=f（87），此時216-x=129．
∴f（x）_min=f（86）=f（87）=

1000

129

．
∴加工G型裝置，H型裝置的人數(shù)分別為86、130或87、129．

點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，根據(jù)實際問題選擇合適的模型是解決實際問題的變化關(guān)系常用的方法，其步驟是，建立函數(shù)模型，求解函數(shù)，得出結(jié)論，再反饋回實際問題中去．