Question

已知數列a_n，a₁、a₂、…、a₁₀是首項為1公差為1的等差數列，a₁₀、a₁₁、…、a₂₀是公差為d（d≠0）的等差數列，a₂₀、a₂₁、…、a₃₀是公差為d²的等差數列，…．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）求a₃₀的取值范圍；
（3）設k∈N^*，求數列a_n前10k項的和S．

Answer 1

分析：（1）利用a₂₀=a₁₀+10d和a₁₀的值求得數列的公差d．
（2）利用a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）整理才關于d的一元二次函數，利用二次函數的性質求得a₃₀的取值范圍；
（3）依題意可分別取得前10項的和，第2個10項的表達式，和第3個10項的表達式，進而可知每10項構成的數列的和為等比數列和等差數列的復合數列，進而分別看d=1和d≠1利用等差數列的求和公式和等比數列的求和公式求得答案．

解答：解：（1）依題意，a₁₀=10，a₂₀=a₁₀+10d=40，解得d=3．
（2）a30=a20+10d2=10(1+d+d2)=10[(d+

1

2

)2+

3

4

]≥

15

2

．
（3）前10項的和

1

=1+2++10=55，
第2個10項的和

2

=(10+d)+(10+2d)++(10+10d)=100+55d，
第3個10項的和

3

=(10+10d+d2)+(10+10d+2d2)++(10+10d+10d2)=100(1+d)+55d2，
d≠1時S=55(1+d+d2++dk-1)+

100

1-d

[(1-d)+(1-d2)++(1-dk-1)]=

55(1-dk)

1-d

+

100

1-d

(k-

1-dk

1-d

)；
d=1時S=55+155+255++[（k-1）×100+55]=5k（10k+1）．
即S=

55(1-dk) 1-d + 100 1-d (k- 1-dk 1-d )，d≠1 5k(10k+1)，d=1

．

點評：本題主要考查了等差數列的性質．這是一個分段等差的數列，解題關鍵是“分”與“合”的轉換、代數運算．